\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

  không biết đúng không, góp thử bài làm heheh

Từ tam giác ABC có AB = 10 ; BC = 11 ; CA = 12 

=> \(cosC=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\dfrac{11^2+12^2-10^2}{2.11.12}=\dfrac{5}{8}\)

tương tự cosB = \(\dfrac{7}{20}\)

cos A = \(\dfrac{41}{80}\)

Lại có \(CN\perp AM\)

nên \(\overrightarrow{CN}.\overrightarrow{AM}=0\)

\(\Leftrightarrow(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}).(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM})=0\)

\(\Leftrightarrow(\overrightarrow{CA}+k\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB})=0\)

\(\Leftrightarrow-AC^2+\dfrac{1}{5}CA.CB.cosC+kAB.AC.cosA+\dfrac{1}{5}k.AB.BC.cos(180^{\text{o}}-B)=0\)

\(\Leftrightarrow-12^2+\dfrac{1}{5}.12.11.\dfrac{5}{8}+k.10.12.\dfrac{41}{80}+\dfrac{1}{5}k.10.11.(-\dfrac{7}{20})=0\)

\(\Leftrightarrow k=\dfrac{1275}{538}=\dfrac{x}{y}\) tối giản => (x ; y) = (1275;538) ; (-1275,-538) (x;y \(\inℤ\))

Với (x,y) = (1275,538)

=> P = \(\sqrt{2022.1275-2023.538+2580888}=\sqrt{4070564}\)

Với (x;y) = (-1275 ; -538) 

=> P = \(\sqrt{1091212}\)

x = BC; y = AC; z = AB đó bạn

Áp dụng bổ đề: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta có: \(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Từ đây suy ra được: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\\z=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{4}{6}+\dfrac{6}{3}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{41}{12}\)

a) \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\).
b) Có \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BI}\).
Vì vậy 3 điểm B, I, J thẳng hàng.
c)
Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
Tại điểm K dựng điểm T sao cho \(\overrightarrow{KT}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BA}\).
\(\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KT}=\overrightarrow{AT}\).
Dựng điểm T sao cho \(\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AT}\).


 

Tham khảo:

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC \( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 3.\overrightarrow {MC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)

Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC\) nên \(\overrightarrow {BM}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)